Statistik o'yinlar. Optimal strategiyani tanlash mezonlar

Muallif: Mengliyev SH.

Qo`shilgan sana: 2014-06-29

Statistik o'yinlar. Optimal  strategiyani tanlash mezonlari

Odatdagi strategik o'yinlarda tomonlardan xar biri o'zi uchun eng foydali va raqib uchun esa iloji boricha kamroq foydali tadbirlarni ko'radi. Lekin shunday xollar xam ko'p uchraydiki, ularda tomonlardan biri (I uyinchi) operatsiyani amalga oshirishda strategiyani ongli ravishda tanlasa, ikkinchi tomon (II uyinchi) strategiyalarni tanlashda mutlaqo maqsadsiz, tasodifan xarakat qiladi. Tabiat bilan uyin deb ataluvchi bunday vaziyatlarda II o'yinchi I o'yinchiga noma’lum bo'lgan ob’ektiv borliq (tabiat) deb qaraladi. Operatsiyalarni tekshirishda operatsiyani o'tkazuvchi tomonni (I uyinchi) ko'pincha statist deb, operatsiyalarning o'zlarini esa statistikning tabiat bilan o'yinlari yoki statistik o'yinlar deb ataydilar.
Noaniqlik sharoitida qaror qabul qilish masalalasining o'yin shaklida qo'yilishini ko'ramiz. Faraz qilaylikki, operatsiyaning o'tkazilish muxiti oldindan aniq ma’lum bo'lmagan n  xil xolatdan  birida bo'lishi mumkin.  Bu xolatlarni T₁,T₂, . . .,T_n deb belgilaymiz. Operatsiyani o'tkazuvchi tomon mumkin bo'lgan m  ta A₁,A₂,. . .,A_m strategiyalarga ega. Xar bir juft  A_i va T_j strategiyalar uchun I o'yinchining a_ij  yutuklari ma’lum va ular N=(a_ij) to'lov matritsasi shaklida berilgan deb faraz qilinadi.
Masala shunday (sof yoki aralash) strategiyani tanlashdan iboratki, uni qo'llash operatsiyani o'tkazuvchi tomonga eng katta yutuqni  ta’minlasin.
1-Misol. Jamoa  xo'jaligining uchta er uchastkasi bor: A₁-sernam, A₂-o'rtacha namli, A₃-quruq. Bu uchastkalardan biriga kartoshka, qolganlariga esa ko'k maysa ekish mo'ljallanmoqda. Ma’lumki, kartoshkadan yaxshi xosil olish uchun  vegetatsiya davrida tuproqda ma’lum miqdorda namlik bo'lishi talab qilinadi. Namgarchilik ortikcha bo'lsa, ekilgan kartoshka  ba’zi joylarda  chirib qolishi, yogingarchilik etarli bo'lmaganda esa u sekin rivojlanishi mumkin. Agar ob-xavo sharoitiga  ko'ra xar bir uchastkaning o'rtacha  xosildorligi ma’lum bo'lsa, kartoshkadan yaxshi xosil olish uchun uni qaysi uchastkaga ekish kerakligini topish talab qilinadi.
A₁ uchastkaning xosildorligi mos ravishda yogingarchilik normal, normadan ortiq va kam bo'lganda I gektardan 200, 100 va 250 ssentnerni tashkil qiladi. SHunga o'xshash A₂ uchastkada – 230, 120 va 200 ssentner, A₃ uchastkada  esa – 240, 260 va 100 ssentner.
O'yinning to'lov matritsasini tuzamiz. II o'yinchining ya’ni tabiatning strategiyalarini, yogingarchilikning normadan kam,  normal va normadan ortik bo'lishga ko'ra, mos ravishda, T₁,T₂,T₃ deb belgilaymiz.
Jamoa xo'jaligi –I o'yinchining xam uchta strategiyasi bori: A₁- kartoshkani sernam uchastkaga ekish, A₂- o'rtacha namli uchastkaga  ekish va A₃ – quruq uchastkaga ekish. Jamoa xujaligining yutug'i strategiyalari xar bir A_i va T_j jufti uchun 1 ga yerning xosildorligi shaklida beriladi (1-jadval)

1-jadval

I             T	T1-normadan kam	T2-normal	T3-normadan ortiq
A1-sernam	250	200	100
A2-o'rtacha namli	200	230	120
A3-quruq	100	240	260

 Tabiat bilan o'yin yutuqlar matritsasining taxlili ko'rilgan qoidalar bo'yicha tabiat bilan o'ynovchi shaxsning (I uyinchining) takrorlanuvchi va befoyda strategiyalarini xisobdan chiqarib tashlashdan boshlanadi. Tabiatning (II o'yinchining) strategiyalariga kelganda esa shuni aytish kerakki, ulardan birortasni xam xisobdan chiqarib tashlash mumkin emas, chunki tabiat xolatlaridan xar biri, I o'yinchining xatti-xarakati va maqsadidan qat’iy nazar, tasodifiy  ravishda yuz berishi mumkin. Tabiat birinchi o'yinchiga qarshilik ko'rsatmaganligi tufayli tabiat bilan o'yin strategik o'yinlarga nisbatan soddarokdek bo'lib ko'rinishi mumkin. Lekin aslida bunday emas. Strategik o'yinda xar bir o'yinchi  raqibining unga zid xarakat qilishini aniq biladi. Statistik o'yinda esa I o'yinchi II o'yinchining qanday yo'l tutishini, ya’ni tabiatning qanday xolati yuz berishini aniq bilmaydi. Lekin operatsiyani o'tkazuvchi tomonga tabiat bilan o'yinda shu ma’noda osonroqki, u bu o'yinda ongli raqib bilan o'yindagiga nisbatan ko'proq  yutish extimoli bor. SHu bilan birga uning asosli qaror qabul qilishi kiyinroq, chunki tabiat bilan o'yinda vaziyat noaniqligining ta’siri ancha kuchli bo'ladi.
Statistik  o'yinda yutuqlar matritsasidan foydalanib tavakkallar (taxlika) matritsasi tuziladi.
Tavakkal deb tabiatning biror T_j xolatida A uyinchining maksimal yutug'idan A_i strategiyani tanlagandagi yutug'ini ayirish natijasiga aytiladi.
Jadvalning j-ustundagi maksimal yutukni b_j bilan belgilaymiz, ya’ni
b_j =max a_ij. Endi r_ij bilan T_j xolatda A_i strategiyani tanlagandagi tavakkalni belgilaymiz: r_ij= b_j - a_ij. Ravshanki r_ij>0. Tavakallarning R(r_ij) matritsasi ko'p xollarda noaniqlik vaziyatini  yutuqlar matritsasiga nisbatan chuqurroq anglab olish imkonini beradi.  Bu matritsaning r_ij elementi tabiat T_j xolatida I uyinchining A_i strategiyaning qulayligi   yoki noqulayligini ifodalaydi.
2-Misol. 1-jadvalda keltirilgan yutuqlar matritsasiga mos tavakkallar  matritsasini tuzish talab qilinadi.
b_j(j=1,2,3) maksimal yutuqlarni topamiz: b₁=max (250,200,100)=250,
b₂=max (200,230,240)=240, b₃=max (100,120,260)=260. Tavakkallar matritsasi elementlarini xisoblaymiz: r₁₁= b₁-a₁₁=250-250=0, r₁₂= b₂-a₁₂=240-200=40,
r₁₃= b₃-a₁₃=260-100=160,  r₂₁= b₂-a₂₁=250-200=50 va hokazo.
Nixoyat, tavakkallar matritsasini xosil qilamiz (2-jadval)

 

                                       2-jadval

II   I	T1	T2	T3
A1	0	40	160
A2	50	10	140
A3	150	0	0

 
Tajriba qilmasdan statistik o'yinlarda qaror qabul qilish mezonlarini qarab chiqamiz.
Tabiat xolatlarining ma’lum extimollariga asoslangan mezon. Ba’zi xollarda statistik o'yinlardagi noaniqlik vaziyatlarini birmuncha susaytirishga muvaffaq bo'linadi. Bunga statistik kuzatish ma’lumotlari asosida tabiat xolatlari ehtimollarini topish yo'li bilan erishiladi. Faraz qilaylikki, tabiat xolatlari extimollari berilgan bo'lsin:

P(T₁)=Q₁ ,  P(T₂)=Q₂ , . . ., P(T_n)=Q_n , bu erda U vaqtda I o’yinchi maksimallashtirishga intiladigan yutuqning (matematik kutilmaning) o’rtacha qiymati bo’ladi. Optimal strategiya sifatida Ai strategiyalardan yutuqning maksimal o’rtacha qiymatiga mos keladigani tanlab olinadi

(1)

Tabiat xolatlari extimollari ma’lum bo’lganda optimal strategiyani tavakkallar ko’rsatkichidan foydalanib xam topish mumkin:

Bu xolda optimal strategiya sifatida tavakkal o’rtacha qiymatining minimumini ta’minlaydigani tanlab olinadi:

O’rtacha yutuq va o’rtacha tavakkal mezonlari bir xil dastlabki ma’lumotlarga, ya’ni bir xil o’yin matritsasiga qo’llanganda  bir xil natijalarga olib kelishini ko’rsatamiz. xamda  ko'rsatkichlarni xisoblaymiz va ularni qo’shamiz:

r_ij=b_j-a_ijekanligidan kelib chiqadi. Muayyan matritsa uchun ushbu yigindi o’zgarmasdir:       (2)

ifodadan ning maksimal bo’lishi ning minimal bo’lishiga olib kelishi ko’rinib turibdi. Binobarin, o’rtacha yutuq mezonini maksimallashtirish yo’li bilan topilgan optimal strategiya o’rtacha tavakkal mezonini minimallashtirish yo’li bilan topilgan optimal strategiyaning o’zi bo’ladi.
YAna bir muxim koida shuki, agar tabiat xolatlari extimollari Q₁, Q₂,..., Q_n  lar ma’lum bulsa, I o’yinchining aralash strategiyalardan foydalanishiga xojat kolmaydi. Xakikatan, agar I o’yinchi P=(P₁, P₂ ,. . ., P_n) aralash stratergiyani qullasa uning tabiat shart-sharoitlari va strategiyasi bo'yicha o’rtachalashtirilgan yutugi

(3)

bo’ladi. Lekin o’rtachalashtirilgan qiymatlarning eng kattasidan ortiq bo’la olmaydi, ya’ni

Bundan kelib chiqadiki, tabiat bilan o’yinda xar qanday R aralash strategiyadan foydalanish I o’yinchi uchun optimal sof strategiyani qullashidan afzalroq bo’la olmaydi.
3-misol. Ob-xavo sharoiti extimoliy xarakteristikalari: yogingarchilik normadan kam bo’lish extimoli Q₁=0,3; yogingarchilik normadagidek bo’lishi extimoli Q₂=0,4; yogingarchilik normadan ziyod bo’lish extimoli Q₃=0,3 ma’lum bo'lsa, 1-misol (1-jadvalga karang) asosda optimal strategiya topilsin. I o’yinchi strategiyalaridan xar biri uchun yutuqlarning o’rtacha qiymati bo’ladi. YUutkning maksimal o’rtacha qiymati

Biz statistik o’yinlarning ob’ektiv xisoblab topilgan tabiat xolatlari extimollari asosida echilishini ko'rib chiqdik. Agar xolatlar ob’ektivlik baxolarini topish mumkin bo'lmasa, u vaqtda tabiat xolatlari extimollari sub’ektiv tarzda quyida-gicha baxolanishi mumkin.

1) Laplas prinsipiga ko’ra

(4)

deb olinadi, ya’ni tabiatning xech bir xolati boshqa xolatlariga qaraganda ko’proq namoyon bo’lmaydi.

2) Kamayuvchi arifmetik progressiya prinsipi asosida

deb qaraladi, bunda(5)

Bu usuldan tabiat xolatlari ularning sodir bo’lish muqarrarligi (yuz berish extimollari) kamayish tartibida joylashtirish mumkin bo’lganda foydalanish mumkin.

               

3) Ekspertlar guruxining bergan ma’lumotlari asosida tabiat xolatlari extimollarining o’rtacha qiymatlari                                 aniqlanadi.             

               

Bo’lardan tashkari, tabiat xolatlari umuman noma’lum bo’lsa, bunday noaniklik sharoitida optimal  echimni topishning boshqa mezonlarga asoslangan usullari xam ishlatiladi.

Vaktning maksimin mezoni. Bu uta pessimetrik mezondir. Bu mezonga asosan optimal strategiya sifatida eng yomon sharoitlarda maksimal yutuq ta’minlaydigan strategiyani tanlash tavsiya etiladi, ya’ni

Sevidjning minimak mezoni. Bu mezon xam xuddi Vald mezoni kabi o’ta pessi-mistik mezon xisoblanadi. Bu mezon buyicha o’ta yomon sharoitlarda tavakkal qiymatining minimumini ta’minlaydigan strategiyani tanlash tavsiya etiladi:

(5)

Gurvits mezoni. Bu mezon – umumlashgan maksimum mezoni deb yuritiladi. U quyidagi ko’rinishga ega: bundakoeffitsient qandaydir vaziyatlarni e’tiborga olgan xolda tanlanadi. Ko’rinib turibdiki, da Gurvits mezoni Val`dning pessimistik mezoniga,da esa o’ta optimistik mezonga aylanadi (da )

Endi shu mezonlarning qo’llanishga doir misollar qaraymiz.
4-misol. O’yinning yutuqlar matritsasi 3-jadvalda berilgan. Laplas prinsipini kullab I o’yinchi optimal strategiyasi topilsin.


3-jadval

T I	T1	T2	T3	T4
A1	1	3	1	4
A2	4	1	3	2
A3	3	1	3	1
A4	3	0	2	3

(3) formulaga ko’ra



Yutuqning maksimal o’rtacha qiymati



Demak, tabiat xolatlari extimollari bir xil bo’lganda 3-jadval bilan berilgan o’yinda A₂ strategiya optimal bo’ladi.
Agar tabiat strategiyalari ularni muqarrarligi kamayib borish tartibida joylashtirilganda T3, T1, T2, T4 ketma-ketlikni xosil kilsa, ularni yangidan T₁₁, T₂₁, T₃₁, T₄₁ deb belgilab, yutuqlar matritsasi 4-jadval ko’rinishda bo’lgan o’yinga kelamiz.


4-jadval

T         I	T1	T2	T3	T4
A1	1	1	3	4	1,7
A2	3	4	1	2	2,8
A3	3	3	1	1	2,3
A4	2	3	0	3	2,0

 

(4) formuladan foydalanib, n=4 uchun bo’lishini topamiz o’rtacha yutuqlar 4-jadvalning oxirgi ustunida keltirilgan. Bu ustun elementlaridan, ni va I o’yinchining optimal A₂ strategiyasini topamiz.
5-Misol. Univermag raxbariyati A  turdagi moldan buyurtma  bermokda. Bunda molga bo’lgan talab  6 dan 9 birlikkata oralikda ekanligi ma’lum. Agar buyurtma bo'yicha olingan mol talabni  qondirish uchun etarli  bo'lmay qolsa raxbariyat etishmay qolgan molga shoshilinch buyurtma berishi va olib kelish mumkin. Agar talab molning  mavjud miqdoridan kam bo’lsa, sotilmagan mol univermag omborida saqlanadi.
Molga beriladigan buyurtmaning shunday xajmini topish kerakki, bunda agar bir birlik molni omborda saqlash xarajati 10 sumni, shoshilinch buyurtma berish va olib kelish xarajati esa 20 sumni tashkil etsa, omborda saklash va shoshilinch buyurtma berish bilan  bog'liq qushimcha chiqimlar minimal bo'lsin.
Ushbu misolda xaridorlar talabi ikkinchi o’yinchi sifatida namoyon bo'lmoqdaki, uning strategiyalari – talab miqdorlari T₁=6 birlik, T₂=7 birlik, T₃=8 birlik, T₄=9 birlik bilan belgilanadi.

I o’yinchi strategiyalari – univermag raxbariyatining buyurtmalari A₁=6, A₂=7, A₃=8, A₄=9 birlik mol  mikdoridan iborat.
         O’yinning tulov matritsasi 5-jadvalda keltirilgan.
                                                                           5-jadval

T I	T1= 6	T2= 7	T3= 8	T4= 9
A1=6	0	-20	-40	-60	-60
A2=7	-10	0	-20	-40	-40
A3=8	-20	-10	0	-20	-20
A4=9	-30	-20	-10	0	-30

 
Matritsa elementlarini xisoblashda faqat molni omborda saqlash va shoshilinch olib kelish  bilan bog’liq kushimcha chikimlar e’tiborga olingan. Masalan, buyurtma 8 mol birligiga, talab esa 7 birlikka teng bo’lganda 1 birlik molni omborda saqlash xarajatlari 10 sumni tashkil etadi. Buyurtmaning xuddi shu xajmida talab 9 birlikka teng bo’lsa, u xolda  etishmagan 1 birlik molni shoshilinch olib kelish uchun kilinadigan xarajat 20 sumni tashkil etadi.
O’yinning echimini Vald, Sevij va  da  Gurvits mezonlari buyicha topamiz.
A) Vald mezonini kullash. i=1,2,3,4  elementlarni topamiz va ularni 5-jadvalning kushimcha ustuniga yozib kuyamiz.  lardan eng kattasi  ya’ni  .
Demak, A₃-optimal strategiyadir, ya’ni moldan 8 birlik buyurtma berish kerak.
V) Sevij mezonini kullash. Yutuqlar matritsasi asosida tavakkalar matritsasini tuzamiz (6-jadval) va kushimcha ustunga maksimal   tavakallarni joylashtiramiz.

              
6-jadval

II I	T1= 6	T2= 7	T3= 8	T4= 9
A1=6	0	20	40	60	60
A2=7	10	0	20	40	40
A3=8	20	10	0	20	20
A4=9	30	20	10	0	30

 
(5) formulaga ko’ra ri sonlardan minimalini topamiz:

Demak, Sevij mezoni buyicha xam A₃ – optimal strategiya bo’lar ekan.
S) Gurvits mezonini kullash. 7-jadval tulov matritsasining ung tomonidagi uchta ustunga quyidagi baxolarni yozib quyamiz:

7-jadval

II I	T1= 6	T2= 7	T3= 8	T4= 9	Wi		hi
A1=6	0	-20	-40	-60	0	-60	-12
A2=7	-10	0	-20	-40	0	-40	-8
A3=8	-20	-10	0	-20	0	-20	-4
A4=9	-30	-20	-10	0	0	-30	-6

da h_ining qiymatlaridan eng kattasi  h₃=-4 bulib, u A₃ strategiyaga mosdir. Demak, qaralayotgan misol uchun echim quyidagicha: univermag  raxbariyati 8 birlik molga buyurtma berish uchun xamma asosga ega, chunki  uchala mezon xam  masalani,  A₃ strategiya foydasiga xal qilinmokda Gurvits mezoni bo'yicha   bo’lganda A₃ strategiya optimal bo’lishini kurish kiyin emas. Faqat (o’ta optimizm)dagina xamma strategiyalar teng kuchlidir.

4603 marta o`qildi.